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Oral Maths 2

 
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Jérémie


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MessagePosté le: Dim 30 Juin - 12:40 (2013)    Sujet du message: Oral Maths 2 Répondre en citant

Soit Σα la surface d'équation    x²+y²+(z-1/cos²α )² = tan²α /cos²α     α∈]0,Pi/2[


1) Quelle est la nature de Σα ? Est-elle régulière? La représenter sur Maple pour α=Pi/3


2) Soit △α le contour apparent de Σα, c'est à dire l'ensemble des points appartenant à Σα∩Cα, Cα étant le cône de sommet O circonscrit à  Σα.


Déterminer l'équation de △α.


3) En déduire que l'équation du cône Cα est x²+y²=(z*tanα)².  Représenter △α, et Cα sur le même graphique que Σα.


Soit S la surface d'équation x²+y²+z²-2x=0


Soit la courbe paramétrée d'équation 
x(t)=cos²(α)(1+cos(2t))
y(t)=cos²(α)sin(2t)
z(t)=sin(2α)cos(t)


Tracer ces deux courbes à l'écran pour α=Pi/3. Que remarquez vous? Démontrer ce résultat.


Je ne me rappelle plus de la dernière question car je n'ai pas eu le temps de la faire. Mathilde a eu le même exo je pense car elle est passée quand je partais, elle s'en rappelle peut être.


Dernière édition par Jérémie le Dim 30 Juin - 20:17 (2013); édité 1 fois
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MessagePosté le: Dim 30 Juin - 12:40 (2013)    Sujet du message: Publicité

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pierrebernard


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MessagePosté le: Dim 30 Juin - 20:12 (2013)    Sujet du message: Oral Maths 2 Répondre en citant

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Jérémie


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Inscrit le: 30 Juin 2013
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MessagePosté le: Dim 30 Juin - 20:29 (2013)    Sujet du message: Oral Maths 2 Répondre en citant

Corrigé de ce que j'ai fait, à ne pas lire si vous voulez le chercher.

1) La surface est une sphère de centre (O;O; 1/cos²(α)) et de rayon tan(α)/cos(α). Elle est régulière (on peut définir un gradient en tout point) .


2) Pour déterminer le contour apparent, on cherche l'ensemble des points M(x;y;z) tels que :   * M appartient à la surface
                                                                                                                               * OM est orthogonal à CM avec C le centre de la sphère (cela traduit le fait que la droite issue de O et passant par M est tangente à la sphère en M)


En résolvant ce système, on obtient les deux équations suivantes :   △α = l'ensemble des M(x;y;z) tels que  x²+y² = tan²α et z=1


3) Ici l'examinateur m'a guidé : pour trouver l'équation du cône à partir de celle du contour apparent, il faut écrire :


M(x;y;z) appartient au cône Cα <=> il existe un réel k tel que kOM appartienne au contour apparent
                                           <=> il existe un réel k tel que  :  k²(x²+y²)=tan²α et kz=1


et en remplaçant k dans la première équation grâce à la première
                                           <=> x²+y²=z²tan²α


4) Quand on trace les deux courbes à l'écran (attention pour la première il faut utiliser la commande implicitplot3d mais pour la deuxième qui est une courbe de l'espace il faut utiliser spacecurve), on s'aperçoit que la courbe est inclue dans la sphère, ce que l'on vérifie avec Maple et remplaçant x(t),y(t), et z(t) dans l'équation de la surface.
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