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Maths 2 (info)

 
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Geoffroy Gauthier


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MessagePosté le: Mer 10 Juil - 10:59 (2013)    Sujet du message: Maths 2 (info) Répondre en citant

Alors, on appelle E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 (R3[X]).
On appelle (Fk) la famille de polynômes telle que Fk(x)=(x+k)^k*(x-k)^(3-k)


1) Montrer que B=(F0...F3) est une base de E
2) On nous donnait deux matrices 4x4, je suis désolé mais je ne me souviens plus des 32 chiffres qu'elles contenaient. En revanche je me rappelle des questions et des réponses attendues:
------ Montrez qu'il existe un polynôme non nul annulateur de A
------ Chercher le polynôme annulateur de A de coefficient dominant 1 et de plus petit degré: pour cela j'ai cherché le polynôme caractéristique de A, qui était scindé et avait pour racines 0 et 1. Je lui ai alors dit que ces racines sont aussi racines du polynôme ce qui nous donne un début de factorisation du polynôme annulateur (facteur: X(X-1)). Dès lors il m'a dit de calculer A*(A-I4), qui s'avère être annulateur de A ! Il ne peut y en avoir un de plus petit degré, c'est donc ce dernier !
------ Il m'a aussi demandé ce qu'on pouvait en déduire sur A. J'ai dit qu'elle était diagonalisable, non inversible... Mais il ne cherchait pas ça ! Du coup j'ai dit que A^2-A=0... oui OK en fait c'est un projecteur !
------ Ok, alors il m'a demandé également quels étaient les éléments de ce projecteur. Là on utilise eigenvectors et on voit quels vecteurs sont dans le noyau et ceux qui sont invariants: ça donne la direction et l'espace par rapport et sur lesquels on projette.
3) On introduit ensuite une nouvelle famille de polynômes: (Tk) définie par Tk(x)=((x+1)^k)/k!
------ T=(T0...T3) est-elle une base de R3[X]?
------ Donner la matrice Q exprimant les Tk sur la base B des Fk


Je n'ai pas pu aller plus loin car je n'ai pas eu le temps d'exprimer l'inverse de la matrice de passage de la base canonique vers B, et ainsi trouver Q avec la relation Q=MatB(T)=MatB(Bc)*MatBc(T)


Je me souviens en revanche qu'après on nous demandait de calculer Q^-1*A*Q, et d'en déduire quelque chose. Le reste est flou


Quelques conseils:
LE MEC A COTE DE MOI A GALERE COMPLETEMENT AVEC SES QUADRIQUES, ALORS REVOYEZ-LES, ainsi que les commandes plot3d, implicitplot...etc
Ensuite, quelques outils (dont certains que je ne connaissais plus) mais qui vous seront utiles: with(linalg), with(LinearAlgebra), expand (pour développer un produit de facteurs), sequence (pour les suites du genre ma suite de polynômes), charpoly, eigenvectors, mais aussi MatrixScalar (ou un truc du genre, qui permet d'écrire rapidement la matrice identité de dimension 4x4)... etc
_________________
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MessagePosté le: Mer 10 Juil - 10:59 (2013)    Sujet du message: Publicité

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